狄利克雷函数是可测函数吗

【狄利克雷函数是可测函数吗】狄利克雷函数在数学分析中是一个经典例子，常用于探讨可测性问题。它定义为：

$$

D(x) = \begin{cases}

1, & x \in \mathbb{Q} \\

0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

\end{cases}

$$

该函数在实数集上处处不连续，但其在勒贝格测度下是可测的。原因是它的定义域可以被划分为两个可测集合（有理数和无理数），且函数值仅取有限个值。

综上，尽管狄利克雷函数具有“怪异”性质，但它在勒贝格测度理论中仍是可测的。

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